2024-09-18

Relationer

Relationen $*$ på $A$ noteras $(A, *)$

Noteras: $a ⪯ b$ då:
$a ⪯ a \forall a \in A$
$a ⪯ b ⟹ b ⪯ a \forall a, b \in A$
$(a ⪯ b \land b ⪯ c) ⟹ a ⪯ c \forall a, b, c \in A$

En partiell ordning blir en total ordning om: $a ⪯ b \lor b ⪯ a \forall a, b \in A$

Exempel: $\geq$ är en total ordning på $R$

$1, 2, 4, 16, \dots, 100$ kan skrivas som $a_{i} = i^{2}, i = 1, 2, \dots, 10$ eller ${a_{i}}_{i = 1}^{10}, a_{i} = i^{2}$

$1 + 2 + 4 + 16 + \dots + 100$ kan skrivas som $\sum_{i = 1}^{10} a_{i}, a_{i} = i^{2}$

$i$ kallas summationsindex
Lägre värde kallas startvärde
Högre värde kallas slutvärde

En summa av en aritmetisk talföljd.

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \frac{n}{2} * (a_{1} + a_{n})$

En definitionsteknik där en funktion/talföljd/etc definieras "steg för steg". Definitionen inkluderar sig själv.

Note

En oändlig talföljd $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ är detsamma som en funktion:

f : Z_{+} \to R f (n) = a_{n}

En bevisteknik där utsagor $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ bestäms steg för steg.

Låt $P_{1}, P_{2}, \dots$ vara utsagor; en utsaga $P_{n}$ för varje $n \in Z_{+}$

Låt $P_{1}, P_{2}, \dots$ vara utsagor.

Om $P_{1}$ sann (basfallet)
$P_{1} \land P_{2} \land \dots \land P_{n} ⟹ P_{n + 1} \forall n \in Z_{+}$ (induktionssteget)
då är $P_{n}$ sann för alla $n \in Z_{+}$