2024-09-02

Logik

Exempel

I: Kort

En färg och form på varje kort.

Kort: Fyrkant, cirkel, gul, röd

F: Om en cirkel på ena sidan är andra sidan gul

Vilka kort måste vändas för att testa påståendet?

Kontrollera cirkeln och röda kortet:

Vi bryr oss inte om ett gult kort har en cirkel på andra sidan

Därför får vi ingen information från att vända fyrkanten eller det gula kortet

II: Dricka

4 personer: 25 år, 16 år, öl och läsk

Vilka behöver kontrolleras för att lagen >18 år för alkohol ska efterföljas?

Kontrollera 16 år och öl

Omskrivet påstående: Dricka innehåller alkohol medför ålder > 18

Vad är logik?

Logik handlar om hur man på ett korrekt sätt går från antaganden till en slutsats

Utsagor

En utsaga är en syntaktiskt korrekt framställning (i något språk) som antingen är sann eller falsk.

Notation: Använder $P$ , $Q$ , $R$ , ... för utsagor.

Exempel — Är dessa utsagor?

Nyårsafton infaller alltid en torsdag: Utsaga (F)
1 + 1 = 2: Utsaga (S)
Göteborg är Sveriges huvudstad: Utsaga (F)
51 är ett primtal: Utsaga (F)
Ekvationer $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ har inga heltalslösningar för $n > 2$ : Utsaga (S)
Coop är öppet: Inte en utsaga, alldeles för vag

Slutsats

Vardagliga "påståenden" måste ofta preciseras eller ges kontekt för att vara utsagor.

Exempel — Notation

$P : "2:a september är en tisdag"$
$P (x) : x < 100$

\2) är ett predikat: en utsaga som beror av variabel.

Kombinationer av utsagor

Från två eller fler utsagor vill skapa nya utsagor.

Logiska operatorer

Operator	Notation	Innebörd	Förklaring
Konjunktion	$P \land Q$	$P$ och $Q$	Utsaga som är sann om och endast om både $P$ och $Q$ är sanna.
Disjunktion	$P \lor Q$	$P$ eller $Q$	Utsaga som är sann när $P$ och/eller $Q$ är sanna.
Negation	$\neg P$	Inte $P$	Utsaga som är sann när $P$ är falskt.
Exklusiv disjunktion	$P \lor Q \land \neg (P \land Q)$	$P$ eller $Q$ men inte $Q$ och $P$	Utsaga som är sann när $P$ eller $Q$ är sanna men inte när $P$ och $Q$ är sanna.