Kapitel 6

6.12.

(a) Hur många sjusiffriga tal, d.v.s. heltal $n$ ${10}^6\le n<{10}^7$, finns det som innehåller exakt 2 ettor, exakt 1 trea och exakt 3 åttor?

Det finns totalt $9\ast {10}^6=9.000.000$ sjusiffriga tal. Vi har bara 9 val till första siffran eftersom om talet började på 0 skulle det inte vara sjusiffrigt.

Utav de 7 siffrorna är 6 av dessa redan bestämda utan plats.
Eftersom det inte får finnas fler av dessa 3 siffror har vi endast 7 val kvar för den sista siffran (6 om det är första siffran).

Vi skriver vårt sjusiffriga tal med formen: ABCDEFG där A–F är våra bestämda siffror och G är den obestämda siffran. Hur många sådana tal finns det? Först tittar vi på de bestämda talen A–F: Om alla siffror var unika skulle det finnas ${}_6{P}_6=\frac{6!}{(6-6)!}=6!=720$ sätt. Men eftersom det finns dubbletter av siffrorna 1 och 8 måste dessa tas bort.

Siffran 888DEFG förekommer exempelvis ${}_3{P}_3=3!=6$ gånger när alla siffror behandlas som unika. Därför behöver vi dividera med $6$ för att ta bort dubbletterna av 8.

$\frac{720}{6}=120$

Detsamma gäller för 1:orna vilket det finns 2 av. Vi dividerar med ${}_2{P}_2=2!=2$:

$\frac{120}{2}=60$

Det finns alltså 60 sätt att arrangera våra bestämda siffror A–F.

För varje av dessa kan G anta 7 värden: $\{0,2,4,5,6,7,9\}$. Enligt multiplikationsprincipen finns det alltså $60\ast 7=420$ sjusiffriga tal ABCDEFG.

Det finns totalt 6 platser där G har 7 val, och 1 där G har 6 val.

Därför finns det totalt $6\ast 60\ast 7+1\ast 60\ast 6=2880$ sjusiffriga tal som innehåller exakt 2 ettor, exakt 1 trea och exakt 3 åttor.

(b) Hur många av dessa är udda?

Ett tal är udda om den sista siffran är 1, 3, 5, 7 eller 9.

Vi tar exemplet av ABCDEFG igen:
Här kan den sista siffran G anta 7 värden $\{0,2,4,5,6,7,9\}$ varav 3 av dessa skulle göra att siffran är udda.

Det finns alltså 60 sätt att arrangera siffrorna A—F och 3 sätt att bestämma siffran G så talet är udda. D.v.s. $60\ast 3=180$ sätt.

Det finns $420\ast 5=2100$ tal som ABCDEGF där G är någonstans i mitten av talet kan den sista siffran anta 6 värden med dubbletter: $\{1,1,3,8,8,8\}$ varav 3 av dessa skulle göra att siffran är udda, d.v.s. hälften. Vi dividerar därför bort hälften av dessa tal och får $\frac{2100}{2}=1050$ udda tal.

Det finns $6\ast 60=360$ tal som GABCDEF där G är i början på talet där det endast finns 6 val till G. Enligt samma logik som ovan dividerar vi bort hälften av dessa och får $\frac{360}{2}=180$ sätt som ett tal GABCDEF är udda.

Adderar vi alla dessa får vi $180+1050+180=1410$ totalt udda sjusiffriga tal.