Kapitel 3

3.13.

b)

$(x\ast y)\ast z=2(2xy-x-y+1)z-(2xy-x-y+1)-z+1$
$=4xyz-2xz-2yz+2z-2xy+x+y-1-z+1$
$=4xyz-2xy-2xz-2yz+x+y+z$
$x\ast (y\ast z)=2x(2yz-y-z+1)-x-(2yz-y-z+1)+1$
$=4xyz-2xy-2xz+2x-x-2yz+y+z-1+1$
$=4xyz-2xy-2xz-2yz+x+y+z$

$(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$

Ja, $\ast$ är associativ.

3.22.

Låt $R$ vara en relation på ${\mathbb{R}}^2$ definierad av att $(a,b)R(c,d)$ om $a^2+b^2=c^2+d^2$

a) Visa att $R$ är en ekvivalensrelation

Är $R$ reflexiv? Dvs: $(a,b)R(a,b)$, Ja

Är $R$ symmetrisk? Dvs: $(a,b)R(c,d)⟹(c,d)R(a,b)\mathrm{\forall }(a,b),(c,d)\in {\mathbb{R}}^2$ Ja

Är $R$ transitiv? Dvs: $((a,b)R(c,d)\wedge (c,d)R(e,\mathrm{f}))⟹(a,b)R(e,\mathrm{f})\mathrm{\forall }(a,b),(c,d),(e,\mathrm{f})\in {\mathbb{R}}^2$ Ja

$R$ är en ekvivalensrelation, VSV.

b) Rita ekvivalensklassen som innehåller $(1,1)$ i ett koordinatsystem.

c) Beskriv ekvivalensklasserna geometrisk.

Varje ekvivalensklass är punkterna på en cirkel med radien $\sqrt{a^2\ast b^2}$

d) Ge en mängd med exakt ett element ur varje ekvivalensklass.

${\mathbb{R}}_{\ge 0}\times \{0\}$

3.24.

Låt $s:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ vara definierad som att $s(n)$ är siffersumman av $n$, t.ex. är

Vi definierar en relation $\mathcal{R}$ på $\mathbb{N}$ genom

a) Motivera att detta är en ekvivalensrelation på $\mathbb{N}$.

$=$ är själv en ekvivalensrelation med uttryck som är samma funktion på $\mathbb{N}$ vilket även leder till att deras värdemängd är samma och att deras ordning är oviktig.

b)