Föreläsning 1 — 24-03

Reella tal

Skrivs $[a, b]$ , $[a, b)$ , $(a, b]$ eller $[a, b]$
Begränsningarna av ett intervall kallas randpunkter
Ett öppet intervall är ett intervall som inte innehåller någon av dess randpunkter
Ett slutet intervall är ett intervall som innehåller alla dess randpunkter
$\infty$ är inte en randpunkt. T.ex. är $[a, \infty)$ ett slutet intervall
$(- \infty, \infty)$ är ett öppet och slutet intervall. Denna egenskapen gäller endast för detta intervall och tomma mängden $\emptyset$ .

En omgivning till $a \in R$ är ett öppet intervall som innehåller $a$ . (Eftersom intervallet är öppet kan inte $a$ vara en av randpunkterna)
En punkterad omgivning till $a \in R$ är en omgivning till $a$ från vilken vi plockat bort $a$ .

Betecknas $| x |$

| x | = {\begin{cases} x & om x \geq 0 \\ - x & om x < 0 \end{cases} = \sqrt{x^{2}}

Om $a, b \in R$ så är $| a - b |$ avståndet från $a$ till $b$ på tallinjen.

(till $a \in R$ )

${x \in R : | x - a < δ |}$

${x \in R : 0 < | x - a < δ |}$

Låt $A \subset R$ . Vi säger att:

$M \in R$ är en övre begränsning till $A$ om $a \leq M$ för varje $a \in A$ . En mängd som har en övre begränsning sägs vara uppåt begränsad.
$m \in R$ är en undre begränsning till $A$ om $a \geq m$ för varje $a \in A$ . En mängd som har en undre begränsning sägs vara nedåt begränsad.
En mängd som är uppåt och nedåt begränsad sägs vara begränsad.

En mängds gränser kan vara randpunkterna till ett intervall men behöver inte vara.

Om $A \subset R$ är uppåt begränsad, då har $A$ en minsta övre begränsning. Den kallas för supremum av $A$ . Betecknas $sup A$
Om $A \subset R$ är nedåt begränsad, då har $A$ en största undre begränsning. Den kallas för infimum av $A$ . Betecknas $inf A$

Definieras:

i^{2} = - 1

Komplexa talen $C$ :

C = {a + i b : a, b \in R}

Det komplexa talplanet kan ritas upp som en tvådimensionell tallinje där $a$ är på x-axeln och $b$ på y-axeln.

$z = a + i b$ kallas för rektangulär form.

Realdelen av $z$ , $Re (z) = a$
Imaginärdelen av $z$ , $Im (z) = b$
Komplexkonjugatet av $z$ , $\bar{z}$ är det komplexa talet $a - i b$ . OBS: $\bar{(\bar{z})} = z$
Absolutbeloppet av $z$ , $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{Re (z)^{2} + Im (z)^{2}}$ . $| z |^{2} = z \cdot \bar{z}$

$z_{1} = a_{1} + b_{1} i, z_{2} = a_{2} + b_{2} i$

$z_{1} + z_{2} = (a_{1} + b_{1} i) + (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} + a_{2}) + i (b_{1} + b_{2})$
$z_{1} \cdot z_{2} = (a_{1} + b_{1} i) \cdot (a_{2} + b_{2} i) = a_{1} a_{2} + a_{1} b_{2} i + b_{1} a_{2} i - b_{1} b_{2}$
om $z_{2} \neq 0$ :

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} \bar{z_{2}}}{z_{2} \bar{z_{2}}} = \frac{z_{1} \bar{z_{2}}}{| z_{2} |^{2}}

Skriv $\frac{1 + i}{2 - i}$ på rektangulär form

\frac{(1 + i) (2 + i)}{| 2 - i |^{2}} = \frac{2 + 2 i + i - 1}{5} = \frac{1 + 3 i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i

Komplexa tal kan även skrivas på polär form: $z = | z | (\cos θ + i \sin θ)$

Vinkeln $θ$ kallas för argumentet för $z$ .

Definition: Komplexa exponentialfunktionen

för $θ \in R$ definierar vi $e^{i} θ = \cos θ + i \sin θ$
$e^{i θ_{1}} \cdot e^{i θ_{2}} = e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$

Om $θ \in R$ , $n \in N$ :

(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) + i \sin (n θ)

(e^{i θ})^{n} = e^{i n θ}